Summary  
This chapter shows how to define symbolic variables and compute partial derivatives of multivariable functions using SymPy in Python, then substitute numerical values and printing the results.

General domain of usage  
machine learning

Tällä videolla opit laskemaan **osittaisderivaatat** monimuuttujaisista funktioista Pythonilla. Ne ovat keskeisiä **optimoinnissa, koneoppimisessa ja data-analytiikassa** funktioiden muutosten analysoinnissa yhden muuttujan suhteen muiden pysyessä vakiona.


Lataa videon koodi

## 1. Monimuuttujaisen funktion määrittely
```
x, y = sp.symbols('x y')
f = 4*x**3*y + 5*y**2
```
- Tässä määritellään $$x$$ ja $$y$$ symbolisiksi muuttujiksi;
- Määritellään funktio $$f(x, y) = 4x^3y + 5y^2$$.


## 2. Osittaisderivaattojen laskeminen
```
df_dx = sp.diff(f, x)  
df_dy = sp.diff(f, y)  
```
- `sp.diff(f, x)` laskee $$\frac{\raisebox{1pt}{$\partial f$}}{\raisebox{-1pt}{$\partial x$}}$$ pitäen $$y$$:tä vakiona;
- `sp.diff(f, y)` laskee $$\frac{\raisebox{1pt}{$\partial f$}}{\raisebox{-1pt}{$\partial y$}}$$ pitäen $$x$$:n vakiona.


## 3. Osittaisderivaattojen arviointi pisteessä (x=1, y=2)
```
df_dx_val = df_dx.subs({x: 1, y: 2})  
df_dy_val = df_dy.subs({x: 1, y: 2})
```
- `.subs({x: 1, y: 2})` -funktio korvaa $$x=1$$ ja $$y=2$$ lasketuissa derivaattafunktioissa;
- Tämä mahdollistaa derivaattojen **numeerisen arvioinnin** tietyssä pisteessä.


## 4. Tulosten tulostaminen

Tulostetaan **alkuperäinen funktio**, sen **osittaisderivaatat** sekä niiden **arvot** pisteessä $$(1,2)$$.

import sympy as sp

x, y = sp.symbols('x y')
f = 4*x**3*y + 5*y**2

df_dx = sp.diff(f, x)  
df_dy = sp.diff(f, y)

df_dx_val = df_dx.subs({x: 1, y: 2})  
df_dy_val = df_dy.subs({x: 1, y: 2})

print("Function: f(x, y) =", f)
print("∂f/∂x =", df_dx)
print("∂f/∂y =", df_dy)
print("∂f/∂x at (1,2) =", df_dx_val)
print("∂f/∂y at (1,2) =", df_dy_val)

Mitä `sp.diff(f, y)` palauttaa annetulle funktiolle?

Hallitse data-analytiikan kannalta olennaiset matemaattiset perusteet. Tutustu keskeisiin käsitteisiin funktioissa, analyysissä, lineaarialgebrassa, todennäköisyyslaskennassa ja ulottuvuuden vähentämisessä. Rakenna sekä teoreettista ymmärrystä että käytännön ohjelmointitaitoja vahvistaaksesi kykyäsi analysoida dataa, mallintaa monimutkaisia järjestelmiä ja soveltaa edistyneitä koneoppimismenetelmiä.

Tutustu matemaattisten funktioiden perusteisiin. Opiskele erilaisia algebrallisia ja transsendenttisia funktioita, niiden ominaisuuksia sekä niiden toteuttamista Pythonilla reaalimaailman ongelmien ratkaisemiseksi.

Hallitse joukkojen ja sarjojen käsitteet perusoperaatioista käytännön sovelluksiin. Saat käytännön kokemusta joukko-operaatioiden toteuttamisesta sekä aritmeettisten ja geometristen sarjojen käsittelystä Pythonilla.

Kehitä vankka ymmärrys rajoista, derivaatasta, integraaleista ja osittaisderivaatasta. Yhdistä teoria käytäntöön toteuttamalla nämä käsitteet Pythonilla ja soveltamalla niitä optimointiin gradienttimenetelmän avulla.

Vahvista osaamista vektoreista, matriiseista ja muunnoksista. Opiskele hajotelmamenetelmiä ja ominaisarvoanalyysiä, ja syvennä käsitteitä Python-ohjelmointitehtävien sekä käytännön data-analytiikkasovellusten avulla.

Syvenny todennäköisyysteoriaan ja tilastotieteeseen. Tarkastele ehdollista todennäköisyyttä, Bayesin kaavaa ja tilastollisia tunnuslukuja. Toteuta keskeisiä käsitteitä Pythonilla, simuloi jakaumia ja vahvista osaamistasi haasteiden ja tietovisojen avulla.

Osittaisderivaattojen Toteuttaminen Pythonilla

1. Monimuuttujaisen funktion määrittely

2. Osittaisderivaattojen laskeminen

3. Osittaisderivaattojen arviointi pisteessä (x=1, y=2)

4. Tulosten tulostaminen