Tipos y comportamientos

1. Función exponencial

Forma:

• $a$: amplitud, escala la curva verticalmente;
• $b$: tasa de crecimiento o decrecimiento, define qué tan rápido aumenta o disminuye la función;
• $c$: desplazamiento horizontal, mueve la curva hacia la izquierda o la derecha;
• $d$: desplazamiento vertical, mueve la gráfica hacia arriba o abajo.

Comportamiento:

• Aumenta rápidamente cuando $b > 0$;
• Disminuye hacia cero cuando $b < 0$;
• Siempre positiva para todo $x$;
• Pasa por el punto $(c, a + d)$;
• Dominio: $(-\infty, \infty)$;
• Recorrido: $(d, \infty)$ si $a > 0$, o $(-\infty, d)$ si $a < 0$.

Caso de uso: modelado de crecimiento poblacional, desintegración radiactiva e interés compuesto.

2. Función logarítmica

Forma:

• $a$: amplitud, estira o comprime la curva verticalmente;
• $b$: base, determina la tasa de crecimiento o decrecimiento;
• $c$: desplazamiento horizontal, mueve la gráfica hacia la izquierda o la derecha;
• $d$: desplazamiento vertical, mueve la gráfica hacia arriba o abajo.

Comportamiento:

• Definida solo para $x > c$;
• Aumenta lentamente a medida que $x$ crece;
• Tiende a menos infinito cerca de $x = c$;
• Pasa por el punto $(c + 1, d)$;
• Dominio: $(c, \infty)$;
• Recorrido: $(-\infty, \infty)$.

Caso de uso: medición de datos con cambio multiplicativo, como pH, intensidad sonora o magnitud de terremotos.

3. Función trigonométrica

Forma:

donde $\text{trig}$ puede ser $\sin$, $\cos$ o $\tan$.

• $a$: amplitud, controla la altura de la onda;
• $b$: ciclos, define cuántas oscilaciones ocurren en un período;
• $c$: desplazamiento horizontal, mueve la onda a la izquierda o derecha;
• $d$: desplazamiento vertical, mueve la gráfica hacia arriba o abajo.

Comportamiento:

• Seno y coseno: oscilan periódicamente entre $-a + d$ y $a + d$;
• Tangente: se repite cada $\pi$ y tiene asíntotas verticales en $x = \frac{\raisebox{1pt}{$\pi$}}{\raisebox{-1pt}{$2b$}} + n\pi/b$;
• Todas son periódicas y continuas dentro de sus dominios;
• Dominio y recorrido:
  • $\sin(x), \cos(x)$: dominio $(-\infty, \infty)$, recorrido $[d - a, d + a]$;
  • $\tan(x)$: dominio $\mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\raisebox{1pt}{$\pi$}}{\raisebox{-1pt}{$2b$}} + n\pi/b} \right\}$, recorrido $(-\infty, \infty)$.

Caso de uso: modelado de ciclos y oscilaciones en procesamiento de señales, física e ingeniería.