Aprende Comprensión del Muestreo | Probabilidad y Estadística

Definición

Muestreo es el proceso de seleccionar un subconjunto de datos de una población más grande para obtener información y hacer inferencias sobre el conjunto total. Dado que a menudo es poco práctico o imposible recopilar datos de toda la población, el muestreo permite un análisis eficiente manteniendo la calidad y precisión de los resultados.

Muestreo Aleatorio Simple

Cada miembro de la población tiene la misma probabilidad de ser seleccionado.
Esto es como sacar nombres de un sombrero.

P(\text{Seleccionar cualquier individuo}) = \frac{1}{N}

Donde:

$N$ = tamaño de la población.

Ejemplo 1:

Tienes una clase de 30 estudiantes. Quieres seleccionar aleatoriamente 5 para una encuesta.

Solución: Utiliza un generador de números aleatorios para seleccionar 5 números únicos entre 1 y 30. Cada estudiante tiene una probabilidad de $\tfrac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$30$}}$ de ser seleccionado.

Ejemplo 2:

Tienes una clase de 30 estudiantes y deseas seleccionar 5 para participar en una encuesta.

Población total: $N=30$ ;
Tamaño de la muestra: $n=5$ .

¿Cuál es la probabilidad de que tanto Alice como Bob sean seleccionados?

Número total de formas de elegir 5 estudiantes de 30:

\binom{30}{5}

Número de muestras favorables que contienen tanto a Alice como a Bob:
Fija a Alice y Bob — elige 3 más de los 28 restantes:

\binom{28}{3}

Por lo tanto, la probabilidad es:

P = \frac{\binom{28}{3}}{\binom{30}{5}}

Muestreo Estratificado

La población se divide en subgrupos significativos (estratos), y se toman muestras aleatorias de cada uno.

n_h = \frac{N_h}{N} \times n

Donde:

$N_h$ - tamaño del subgrupo $h$ ;
$N$ - tamaño total de la población;
$n$ - tamaño total de la muestra;
$n_{\raisebox{-1pt}{$h$}}$ - tamaño de la muestra del subgrupo $h$ .

Ejemplo:

Una clase tiene 30 estudiantes: 18 hombres y 12 mujeres. Se desea muestrear 10 estudiantes proporcionalmente:

De los hombres: $\tfrac{\raisebox{1pt}{$18$}}{\raisebox{-1pt}{$30$}} \times 10 = 6$ ;
De las mujeres: $\tfrac{\raisebox{1pt}{$12$}}{\raisebox{-1pt}{$30$}} \times 10 = 4$ .

Ventaja: Garantiza la representación de subgrupos clave.

Muestreo por Conglomerados

La población se divide en grupos (conglomerados), y se seleccionan aleatoriamente conglomerados completos.

c = \text{número de conglomerados a muestrear}

Donde:

Los conglomerados son grupos preexistentes (por ejemplo, aulas, equipos);
Se seleccionan aleatoriamente conglomerados completos, no individuos.

Ejemplo 1:

Tu escuela tiene 5 aulas. Se requiere una muestra de 25 estudiantes, pero encuestar a cada individuo es demasiado laborioso.

Solución: Seleccionar aleatoriamente 1 aula (ya que cada una tiene aproximadamente 25 estudiantes) y encuestar a todos.

Ejemplo 2:

Una universidad tiene 20 residencias, cada una con 50 estudiantes. Se seleccionan aleatoriamente 4 residencias y se encuesta a todos los residentes.

Número de conglomerados: $N=20$ ;
Conglomerados seleccionados: $n=4$ ;
Estudiantes por residencia: $M=50$ ;
Total de estudiantes muestreados: $n \times M = 200$ .

¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante específico (por ejemplo, Sarah) sea incluido?
Equivale a la probabilidad de que su residencia sea seleccionada:

P(\text{Sarah selected}) = \frac{4}{20} = 0.2

Caso complejo:
Si 10 residencias tienen 30 estudiantes y 10 tienen 70 estudiantes, y se seleccionan 4 residencias al azar, ¿cuál es el tamaño esperado de la muestra?

Sea:

$D_{30} = 10$ residencias con 30 estudiantes;
$D_{70} = 10$ residencias con 70 estudiantes.

Tamaño esperado de la muestra:

E = \frac{10}{20} \cdot (4 \times 30) + \frac{10}{20} \cdot (4 \times 70) = 200

Por lo tanto, incluso si los conglomerados difieren en tamaño, el tamaño esperado de la muestra permanece igual si los tipos de residencias están equilibrados.

Muestreo Sistemático

Seleccionar cada $k$ -ésimo elemento de una lista.

k = \frac{N}{n}

Donde:

$N$ - población total;
$n$ - tamaño de muestra deseado;
$k$ - intervalo de muestreo.

Ejemplo:

Una lista de 1000 clientes. Se requiere una muestra de 100. Así:

k = \frac{1000}{100} = 10

Elegir un punto de inicio aleatorio (por ejemplo, 7), luego seleccionar cada décimo cliente: 7, 17, 27, etc.

Ventaja: Fácil de implementar y sistemático.

Todos los métodos aplicados a un mismo problema

Planteamiento del problema:
Estás estudiando la satisfacción con la cafetería en una escuela con 300 estudiantes distribuidos en 10 aulas (30 por aula). Quieres una muestra de 30 estudiantes.

Aleatorio simple: selecciona al azar 30 nombres de la lista completa;
Estratificado: si el 60% son niños y el 40% niñas, selecciona 18 niños y 12 niñas;
Por conglomerados: selecciona al azar 1 aula (30 estudiantes) y encuesta a todos;
Sistemático: elige cada décimo estudiante de una lista ordenada.

Resumen

El muestreo reduce el esfuerzo de recolección de datos y permite la generalización;
El muestreo aleatorio y estratificado son los más precisos;
El muestreo por conglomerados es eficiente pero funciona mejor cuando los conglomerados son similares;
El muestreo sistemático es sencillo y práctico;
El muestreo por conveniencia es riesgoso y debe evitarse cuando sea posible;
Siempre documenta tu método de muestreo en análisis del mundo real.

¿Todo estuvo claro?

¡Gracias por tus comentarios!

Sección 5. Capítulo 5

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When should I use each sampling method?

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Definición

Muestreo Aleatorio Simple

Cada miembro de la población tiene la misma probabilidad de ser seleccionado.
Esto es como sacar nombres de un sombrero.

P(\text{Seleccionar cualquier individuo}) = \frac{1}{N}

Donde:

$N$ = tamaño de la población.

Ejemplo 1:

Tienes una clase de 30 estudiantes. Quieres seleccionar aleatoriamente 5 para una encuesta.

Ejemplo 2:

Tienes una clase de 30 estudiantes y deseas seleccionar 5 para participar en una encuesta.

Población total: $N=30$ ;
Tamaño de la muestra: $n=5$ .

¿Cuál es la probabilidad de que tanto Alice como Bob sean seleccionados?

Número total de formas de elegir 5 estudiantes de 30:

\binom{30}{5}

Número de muestras favorables que contienen tanto a Alice como a Bob:
Fija a Alice y Bob — elige 3 más de los 28 restantes:

\binom{28}{3}

Por lo tanto, la probabilidad es:

P = \frac{\binom{28}{3}}{\binom{30}{5}}

Muestreo Estratificado

La población se divide en subgrupos significativos (estratos), y se toman muestras aleatorias de cada uno.

n_h = \frac{N_h}{N} \times n

Donde:

$N_h$ - tamaño del subgrupo $h$ ;
$N$ - tamaño total de la población;
$n$ - tamaño total de la muestra;
$n_{\raisebox{-1pt}{$h$}}$ - tamaño de la muestra del subgrupo $h$ .

Ejemplo:

Una clase tiene 30 estudiantes: 18 hombres y 12 mujeres. Se desea muestrear 10 estudiantes proporcionalmente:

De los hombres: $\tfrac{\raisebox{1pt}{$18$}}{\raisebox{-1pt}{$30$}} \times 10 = 6$ ;
De las mujeres: $\tfrac{\raisebox{1pt}{$12$}}{\raisebox{-1pt}{$30$}} \times 10 = 4$ .

Ventaja: Garantiza la representación de subgrupos clave.

Muestreo por Conglomerados

La población se divide en grupos (conglomerados), y se seleccionan aleatoriamente conglomerados completos.

c = \text{número de conglomerados a muestrear}

Donde:

Los conglomerados son grupos preexistentes (por ejemplo, aulas, equipos);
Se seleccionan aleatoriamente conglomerados completos, no individuos.

Ejemplo 1:

Tu escuela tiene 5 aulas. Se requiere una muestra de 25 estudiantes, pero encuestar a cada individuo es demasiado laborioso.

Solución: Seleccionar aleatoriamente 1 aula (ya que cada una tiene aproximadamente 25 estudiantes) y encuestar a todos.

Ejemplo 2:

Una universidad tiene 20 residencias, cada una con 50 estudiantes. Se seleccionan aleatoriamente 4 residencias y se encuesta a todos los residentes.

Número de conglomerados: $N=20$ ;
Conglomerados seleccionados: $n=4$ ;
Estudiantes por residencia: $M=50$ ;
Total de estudiantes muestreados: $n \times M = 200$ .

¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante específico (por ejemplo, Sarah) sea incluido?
Equivale a la probabilidad de que su residencia sea seleccionada:

P(\text{Sarah selected}) = \frac{4}{20} = 0.2

Caso complejo:
Si 10 residencias tienen 30 estudiantes y 10 tienen 70 estudiantes, y se seleccionan 4 residencias al azar, ¿cuál es el tamaño esperado de la muestra?

Sea:

$D_{30} = 10$ residencias con 30 estudiantes;
$D_{70} = 10$ residencias con 70 estudiantes.

Tamaño esperado de la muestra:

E = \frac{10}{20} \cdot (4 \times 30) + \frac{10}{20} \cdot (4 \times 70) = 200

Por lo tanto, incluso si los conglomerados difieren en tamaño, el tamaño esperado de la muestra permanece igual si los tipos de residencias están equilibrados.

Muestreo Sistemático

Seleccionar cada $k$ -ésimo elemento de una lista.

k = \frac{N}{n}

Donde:

$N$ - población total;
$n$ - tamaño de muestra deseado;
$k$ - intervalo de muestreo.

Ejemplo:

Una lista de 1000 clientes. Se requiere una muestra de 100. Así:

k = \frac{1000}{100} = 10

Elegir un punto de inicio aleatorio (por ejemplo, 7), luego seleccionar cada décimo cliente: 7, 17, 27, etc.

Ventaja: Fácil de implementar y sistemático.

Todos los métodos aplicados a un mismo problema

Planteamiento del problema:
Estás estudiando la satisfacción con la cafetería en una escuela con 300 estudiantes distribuidos en 10 aulas (30 por aula). Quieres una muestra de 30 estudiantes.

Aleatorio simple: selecciona al azar 30 nombres de la lista completa;
Estratificado: si el 60% son niños y el 40% niñas, selecciona 18 niños y 12 niñas;
Por conglomerados: selecciona al azar 1 aula (30 estudiantes) y encuesta a todos;
Sistemático: elige cada décimo estudiante de una lista ordenada.

Resumen

El muestreo reduce el esfuerzo de recolección de datos y permite la generalización;
El muestreo aleatorio y estratificado son los más precisos;
El muestreo por conglomerados es eficiente pero funciona mejor cuando los conglomerados son similares;
El muestreo sistemático es sencillo y práctico;
El muestreo por conveniencia es riesgoso y debe evitarse cuando sea posible;
Siempre documenta tu método de muestreo en análisis del mundo real.

¿Todo estuvo claro?

¡Gracias por tus comentarios!

Sección 5. Capítulo 5