Portfoliovarianz
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Das Risiko jeder einzelnen Anlage ist bekannt. Aber wie hoch ist das Risiko des gesamten Portfolios? Die Antwort ist nicht einfach der Durchschnitt der Varianzen der einzelnen Anlagen – es hängt entscheidend davon ab, wie sich diese Anlagen gemeinsam bewegen.
Portfolio-Varianz ist die Formel, die die Varianzen der einzelnen Anlagen mit den Korrelationen zwischen ihnen kombiniert. Für ein Portfolio mit zwei Anlagen:
Portfolio Variance=w12σ12+w22σ22+2⋅w1⋅w2⋅σ1⋅σ2⋅ρ12Dabei gilt:
- w1, w2 – Gewichtung jeder Anlage im Portfolio;
- σ1, σ2 – Standardabweichungen der einzelnen Anlagen;
- ρ12 – Korrelation zwischen den beiden Anlagen.
Ein konkretes Beispiel – 60% Aktien, 40% Anleihen:
Wenn man einfach die Standardabweichungen gemittelt hätte (0,60×15 + 0,40×6 = 11,4%), hätte man das Risiko des Portfolios um mehr als 3 Prozentpunkte überschätzt. Die negative Korrelation hat den Unterschied gemacht.
Der Diversifikationseffekt in Zahlen
Der letzte Term in der Formel – 2⋅w1⋅w2⋅σ1⋅σ2⋅ρ12 – ist der Bereich, in dem Diversifikation stattfindet. Bei negativer Korrelation wird dieser Term von der Gesamtvarianz subtrahiert. Bei einer Korrelation von +1,0 trägt er nichts bei und die Portfoliovarianz entspricht dem einfachen gewichteten Durchschnitt der Einzelvarianzen.
Deshalb ist die Korrelation der entscheidende Hebel:
- ρ = +1,0: keine Varianzreduktion – vollständiges gewichtetes Durchschnittsrisiko;
- ρ = 0,0: teilweise Reduktion – Anlagen verstärken sich nicht gegenseitig;
- ρ = −1,0: maximale Reduktion – theoretisch kann das Risiko vollständig eliminiert werden.
Maß für das Gesamtrisiko eines Portfolios, das die Einzelvarianzen der jeweiligen Vermögenswerte und deren Korrelationen berücksichtigt. Die Portfoliovarianz ist immer niedriger als der gewichtete Durchschnitt der Einzelvarianzen, wenn die Vermögenswerte nicht perfekt korreliert sind.
Die Portfoliovarianz wird mit jedem zusätzlichen Vermögenswert komplexer – ein Portfolio mit zehn Vermögenswerten erfordert die Berechnung von 45 einzigartigen paarweisen Korrelationen. In der Praxis verwenden Portfoliomanager Matrixalgebra und Software, um dies zu bewältigen. Die Zwei-Vermögenswert-Formel bildet die Grundlage; das Prinzip lässt sich direkt skalieren.
1. Ein Zwei-Asset-Portfolio hat eine Aktiengewichtung von 70 %, eine Anleihen-Gewichtung von 30 %, eine Aktien-Standardabweichung von 18 %, eine Anleihen-Standardabweichung von 5 % und eine Korrelation von 0,0. Im Vergleich zu einem Portfolio mit denselben Gewichtungen und Standardabweichungen, aber einer Korrelation von +1,0, was trifft zu?
2. Ein Anleger fügt einem Zwei-Asset-Portfolio ein drittes Asset hinzu. Das neue Asset weist eine niedrige, aber positive Korrelation zu beiden bestehenden Assets auf. Was passiert mit der Portfolio-Varianz?
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