In Python können Ableitungen symbolisch mit sympy berechnet und mit matplotlib visualisiert werden.

1. Symbolische Berechnung von Ableitungen

# Define symbolic variable x
x = sp.symbols('x')
# Define the functions
f1 = sp.exp(x)  
f2 = 1 / (1 + sp.exp(-x))  
# Compute derivatives symbolically
df1 = sp.diff(f1, x)  
df2 = sp.diff(f2, x)

Erklärung:

• x wird als symbolische Variable mit sp.symbols('x') definiert;
• Die Funktion sp.diff(f, x) berechnet die Ableitung von f nach x;
• Dadurch ist es möglich, Ableitungen algebraisch in Python zu manipulieren.

2. Auswertung und Darstellung von Funktionen und deren Ableitungen

# Convert symbolic functions to numerical functions for plotting
f1_lambda = sp.lambdify(x, f1, 'numpy')
df1_lambda = sp.lambdify(x, df1, 'numpy')
f2_lambda = sp.lambdify(x, f2, 'numpy')
df2_lambda = sp.lambdify(x, df2, 'numpy')

Erklärung:

• sp.lambdify(x, f, 'numpy') wandelt eine symbolische Funktion in eine numerische Funktion um, die mit numpy ausgewertet werden kann;
• Dies ist erforderlich, da matplotlib und numpy mit numerischen Arrays und nicht mit symbolischen Ausdrücken arbeiten.

3. Ausgabe der Ableitungswerte an Schlüsselpunkten

Zur Überprüfung der Berechnungen werden die Ableitungswerte bei x = [-5, 0, 5] ausgegeben.

# Evaluate derivatives at key points
test_points = [-5, 0, 5]
for x_val in test_points:
    print(f"x = {x_val}: e^x = {f2_lambda(x_val):.4f}, e^x' = {df2_lambda(x_val):.4f}")
    print(f"x = {x_val}: sigmoid(x) = {f4_lambda(x_val):.4f}, sigmoid'(x) = {df4_lambda(x_val):.4f}")
    print("-" * 50)