In Python können Ableitungen symbolisch mit sympy berechnet und mit matplotlib visualisiert werden.

1. Symbolische Berechnung von Ableitungen

# Define symbolic variable x
x = sp.symbols('x')
# Define the functions
f1 = sp.exp(x)  
f2 = 1 / (1 + sp.exp(-x))  
# Compute derivatives symbolically
df1 = sp.diff(f1, x)  
df2 = sp.diff(f2, x)

Erklärung:

• Definition von x als symbolische Variable mit sp.symbols('x');
• Die Funktion sp.diff(f, x) berechnet die Ableitung von f nach x;
• Dadurch ist es möglich, Ableitungen algebraisch zu manipulieren in Python.

2. Auswertung und Darstellung von Funktionen und deren Ableitungen

# Convert symbolic functions to numerical functions for plotting
f1_lambda = sp.lambdify(x, f1, 'numpy')
df1_lambda = sp.lambdify(x, df1, 'numpy')
f2_lambda = sp.lambdify(x, f2, 'numpy')
df2_lambda = sp.lambdify(x, df2, 'numpy')

Erklärung:

• sp.lambdify(x, f, 'numpy') wandelt eine symbolische Funktion in eine numerische Funktion um, die mit numpy ausgewertet werden kann;
• Dies ist notwendig, da matplotlib und numpy mit numerischen Arrays und nicht mit symbolischen Ausdrücken arbeiten.

3. Ausgeben der Ableitungswerte für Schlüsselpunkte

Zur Überprüfung unserer Berechnungen geben wir die Ableitungswerte bei x = [-5, 0, 5] aus.

# Evaluate derivatives at key points
test_points = [-5, 0, 5]
for x_val in test_points:
    print(f"x = {x_val}: e^x = {f2_lambda(x_val):.4f}, e^x' = {df2_lambda(x_val):.4f}")
    print(f"x = {x_val}: sigmoid(x) = {f4_lambda(x_val):.4f}, sigmoid'(x) = {df4_lambda(x_val):.4f}")
    print("-" * 50)