Im Gegensatz zu vorherigen Funktionen erfordern rationale Funktionen besondere Sorgfalt bei der Darstellung in Python. Da sie undefinierte Stellen und unendliche Werte besitzen, ist eine Aufteilung des Definitionsbereichs erforderlich, um Fehler zu vermeiden.

1. Definition der Funktion

Die rationale Funktion wird wie folgt definiert:

def rational_function(x):
    return 1 / (x - 1)

Wichtige Überlegungen:

• $x = 1$ muss von den Berechnungen ausgeschlossen werden, um eine Division durch Null zu vermeiden;
• Die Funktion wird in zwei Definitionsbereiche aufgeteilt (links und rechts von $x = 1$).

2. Aufteilung des Definitionsbereichs

Um eine Division durch Null zu vermeiden, werden zwei separate Mengen von x-Werten erzeugt:

x_left = np.linspace(-4, 0.99, 250)  # Left of x = 1
x_right = np.linspace(1.01, 4, 250)  # Right of x = 1

Die Werte 0.99 und 1.01 stellen sicher, dass $x = 1$ nie enthalten ist, wodurch Fehler vermieden werden.

3. Darstellung der Funktion

plt.plot(x_left, y_left, color='blue', linewidth=2, label=r"$f(x) = \frac{1}{x - 1}$")
plt.plot(x_right, y_right, color='blue', linewidth=2)

Die Funktion springt bei $x = 1$, daher muss sie in zwei Abschnitten geplottet werden.

4. Markieren von Asymptoten und Schnittpunkten

• Vertikale Asymptote ($x = 1$):

plt.axvline(1, color='red', linestyle='--',
            linewidth=1, label="Vertical Asymptote (x=1)")

• Horizontale Asymptote ($y = 0$):

plt.axhline(0, color='green', linestyle='--', 
            linewidth=1, label="Horizontal Asymptote (y=0)")

• Y-Achsenabschnitt bei $x = 0$:

y_intercept = rational_function(0)
plt.scatter(0, y_intercept, color='purple', label="Y-Intercept")

5. Hinzufügen von Richtungspfeilen

Zur Kennzeichnung, dass die Funktion ins Unendliche verläuft:

plt.annotate('', xy=(x_right[-1], y_right[-1]), xytext=(x_right[-2], y_right[-2]), arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='blue', linewidth=1.5))